이론
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#0003. r개의 연속한 자연수의 곱이 r!의 배수임을 증명하기이론/수학 2019. 10. 28. 22:35
고등학교 수학 교과서에서 \( _n C _r\)로 표기하는, 조합을 배울 때 다음과 같은 공식을 보게 됩니다. $$ _n C _r = \frac{ _n P _r }{r!} = \frac{ n \left(n-1 \right) \cdots \left(n-r+1 \right)}{r \left(r-1 \right) \cdots 1}$$ 이때 \( _n C _r \)의 값은 \(n\)개의 구분할 수 있는 공 중에서 \(r\)개를 중복을 허용하지 않고 순서에 상관없이 뽑는 경우의 수이기 때문에, 당연히 음이 아닌 정수 값일 것임을 알 수 있습니다. 그러나 실제로 분수에서 분모가 전부 약분될까요? 이러한 의문을 구글에 검색해보았습니다. 많은 사람들이 내놓는 답으로 다음과 같은 것이 있었습니다. "\(k\)개의 연속한..
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#0001. 물질의 특성(Q-Chem)이론/과학 2019. 7. 12. 00:00
양자역학의 발전 역사에서 물질의 특성과 관련하여 기억해야 할 개념들이 있다. 크게 세 가지로 분류될 수 있는데, 이는 다음과 같다: 에너지 양자화의 증거 파동-입자 이중성의 증거 원자 모형 어떤 사람들은 De Broglie(드브로이)가 식 고쳐쓴 것 말고는 한 게 없다며 까지만, 그의 matter wave 개념은 양자역학 발전에 있어 구심점이 되었다. 이 글에서는 지엽적인 부분은 생략하고, 큰 흐름만 짚어보려고 한다. 우선 De Broglie의 물질파는 1924년 등장한 것으로, 유명한 식 $$\lambda = \frac{h}{p}$$로 나타난다. 거칠게 말해 물질파의 파장(파동성)은 운동량에 반비례한다는 것으로, p는 운동량, $$h=6.626\cdots \times 10^{-34} \ \rm J \c..
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#0002. 수학적 귀납법(Mathematical induction)이론/수학 2019. 7. 5. 10:48
1. 개요 고등학교 과정에서, 자연수(혹은 정수)와 연관된 정리를 증명하는 데 가장 유용한 수단은 수학적 귀납법이다. 가령 다음의 명제를 증명한다고 하자. 자연수 \(n\)에 대하여 \( 11 \mid\left( 21^{2n-1} + 1 \right) \)이 성립한다. 물론 \( n = 1, 2, 3, \cdots \)를 대입해 가며 원하는 수 \(N\) 까지 성립함을 직접 보일 수 있다. 그러나 이 방법은 복잡한 계산이 짜증날 뿐 아니라, 명제가 모든 자연수에 대해 성립함을 보일 수 없다. 이런 경우 수학적 귀납법을 사용한다. 유한 번의 증명으로 무한한 경우에 대해 명제가 성립함을 보일 수 있는 것이다. 앞으로 나올 수학적 귀납법에는 많은 변형이 있지만, 언제나 특정한 경우인 base case와 이를 ..
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#0001. 부정적분: 루트 탄젠트 적분하기이론/수학 2019. 7. 4. 23:04
\(\tan {x}\) 함수의 부정적분은 \(\tan{x}=\sin{x}/\cos{x}\) 임을 이용하여 치환 적분을 해야 한다. \(\tan{x}\) 거듭제곱의 (정)적분도 지수를 2씩 낮추는 점화식 $$\int \tan^{n}{x}\, dx = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1}{x} - \int \tan^{n-2}{x}\, dx$$ 을 이용하면 쉽게 풀 수 있다. (이 점화식은 치환적분 혹은 부분 적분으로 쉽게 증명된다.) 그렇지만 부정적분 문제의 최고봉이라는 \(\sqrt{\tan{x}}\)는 어떻게 적분해야 할까? 목표는 다음의 적분을 수행하는 것이다. $$\int \sqrt{\tan{x}}\, dx$$ 먼저 치환적분을 한다. $$\sqrt{\tan{x}} = t$$ $$\tan{x} ..