이론/수학
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수열의 극한과 급수(이론편)이론/수학 2019. 11. 25. 12:29
2009 개정 교육과정의 미적분1에 처음 등장하는 개념은 수열의 극한과 급수입니다. 개인적으로 이 부분을 공부하며 중요하다고 생각했습니다. 그 이유는 극한의 개념이 처음 등장하는 장이기 때문이고, 앞으로 중요하게 다루어질 함수의 극한 중 특수한 상황(정의역이 모든 자연수가 속하는 집합)이기 때문입니다. 그런 의미에서 한 번 정리해보려고 합니다. 수열의 개념 등 수학1, 수학2에 등장하는 개념은 이미 배웠다고 전제하고 있습니다. 개념은 수학의 정석 실력 편을 참고하여 정리하였으나 제 임의로 바꾼 부분도 있습니다. 1. 수열의 극한 1) 수열의 수렴과 발산 수열 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots , a_{n}, \cdots\)에서 \(n\)이 한없이 커질 때, \(a_{n}\)이 일정한 ..
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공간도형이론/수학 2019. 11. 1. 11:41
공간도형은 해석기하로 고통받던 학생들에게 중학교 적 논증기하의 악몽을 되살려주는 단원입니다. 비록 2015 개정 교육과정을 적용받는 02년생부터는 공간도형 자체를 배우지 않을 것 같지만 알아두면 유용할 것입니다. 1. 공간도형의 기본 성질 (공리로 생각합시다) 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나 있다. 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 존재한다. 한 평면 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선 위의 모든 점은 그 평면 위에 있다. (이 때 평면은 해당 직선을 품는다고 합니다.) 서로 다른 두 평면이 한 점을 공유하면 이 두 평면은 그 점을 지나는 직선을 공유한다. 한 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 평행한 직선은 오직 하나 있다. 이때, 두 직선이 평행하다는..
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[문제] - 이산확률분포이론/수학 2019. 10. 31. 17:30
앞면이 나올 확률이 \(p\left(0 < p < 1\right)\)인 동전을 여러 번 계속해서 던진다. 그런데 이 동전을 던질 때마다 그때까지 나온 앞면의 총 횟수가 짝수 번이면 1점을 얻고, 홀수 번이면 1점을 잃는다. 최초에 0점에서 시작하여 동전을 \(n\)번 던졌을 때의 득점의 기댓값을 \(E_n\)이라 한다. (1) 이 동전을 \(n\)번 던져서 앞면이 나온 횟수가 짝수일 확률을 \(a_n\)이라 할 때, \(a_n\)을 구하여라. (단, \(n\geq 1\)) (2) \(E_n\) 및 \(\lim_{n \to \infty}E_n\)을 구하여라. 이를테면 동전을 3번 던져서 앞면, 뒷면, 앞면이 나왔다고 가정합시다. 그때까지 앞면이 나온 총 횟수는 2회 입니다. 다시 동전을 던져서(4번째) 뒷..
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문제 - 시그마 합 공식이론/수학 2019. 10. 30. 22:38
우리는 다음의 공식을 익히 알고 있습니다. $$ \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n\left(n+1\right)}{2} $$ 문제는, \(k\left(k+1\right)\)의 합도 마찬가지의 꼴로 나타낼 수 있는가를 물어봅니다. 문제의 해결 방법에는 여러 가지가 있을 수 있습니다. 가장 쉽게 접근할 만한 것은 더해지는 \(k\left(k+1\right)\)를 전개하여 우리가 배운 꼴로 고치는 것입니다. $$ \sum_{k=1}^{n}{k\left(k+1\right)} = \sum_{k=1}^{n}{\left(k^2 + k\right)} = \sum_{k=1}^{n}{k^2} + \sum_{k=1}^{n}{k} \\ = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{..
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#0003. r개의 연속한 자연수의 곱이 r!의 배수임을 증명하기이론/수학 2019. 10. 28. 22:35
고등학교 수학 교과서에서 \( _n C _r\)로 표기하는, 조합을 배울 때 다음과 같은 공식을 보게 됩니다. $$ _n C _r = \frac{ _n P _r }{r!} = \frac{ n \left(n-1 \right) \cdots \left(n-r+1 \right)}{r \left(r-1 \right) \cdots 1}$$ 이때 \( _n C _r \)의 값은 \(n\)개의 구분할 수 있는 공 중에서 \(r\)개를 중복을 허용하지 않고 순서에 상관없이 뽑는 경우의 수이기 때문에, 당연히 음이 아닌 정수 값일 것임을 알 수 있습니다. 그러나 실제로 분수에서 분모가 전부 약분될까요? 이러한 의문을 구글에 검색해보았습니다. 많은 사람들이 내놓는 답으로 다음과 같은 것이 있었습니다. "\(k\)개의 연속한..
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#0002. 수학적 귀납법(Mathematical induction)이론/수학 2019. 7. 5. 10:48
1. 개요 고등학교 과정에서, 자연수(혹은 정수)와 연관된 정리를 증명하는 데 가장 유용한 수단은 수학적 귀납법이다. 가령 다음의 명제를 증명한다고 하자. 자연수 \(n\)에 대하여 \( 11 \mid\left( 21^{2n-1} + 1 \right) \)이 성립한다. 물론 \( n = 1, 2, 3, \cdots \)를 대입해 가며 원하는 수 \(N\) 까지 성립함을 직접 보일 수 있다. 그러나 이 방법은 복잡한 계산이 짜증날 뿐 아니라, 명제가 모든 자연수에 대해 성립함을 보일 수 없다. 이런 경우 수학적 귀납법을 사용한다. 유한 번의 증명으로 무한한 경우에 대해 명제가 성립함을 보일 수 있는 것이다. 앞으로 나올 수학적 귀납법에는 많은 변형이 있지만, 언제나 특정한 경우인 base case와 이를 ..
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#0001. 부정적분: 루트 탄젠트 적분하기이론/수학 2019. 7. 4. 23:04
\(\tan {x}\) 함수의 부정적분은 \(\tan{x}=\sin{x}/\cos{x}\) 임을 이용하여 치환 적분을 해야 한다. \(\tan{x}\) 거듭제곱의 (정)적분도 지수를 2씩 낮추는 점화식 $$\int \tan^{n}{x}\, dx = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1}{x} - \int \tan^{n-2}{x}\, dx$$ 을 이용하면 쉽게 풀 수 있다. (이 점화식은 치환적분 혹은 부분 적분으로 쉽게 증명된다.) 그렇지만 부정적분 문제의 최고봉이라는 \(\sqrt{\tan{x}}\)는 어떻게 적분해야 할까? 목표는 다음의 적분을 수행하는 것이다. $$\int \sqrt{\tan{x}}\, dx$$ 먼저 치환적분을 한다. $$\sqrt{\tan{x}} = t$$ $$\tan{x} ..