#0001. 부정적분: 루트 탄젠트 적분하기

\(\tan {x}\) 함수의 부정적분은 \(\tan{x}=\sin{x}/\cos{x}\) 임을 이용하여 치환 적분을 해야 한다. \(\tan{x}\) 거듭제곱의 (정)적분도 지수를 2씩 낮추는 점화식

$$\int \tan^{n}{x}\, dx = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1}{x} - \int \tan^{n-2}{x}\, dx$$

을 이용하면 쉽게 풀 수 있다. (이 점화식은 치환적분 혹은 부분 적분으로 쉽게 증명된다.)

그렇지만 부정적분 문제의 최고봉이라는 \(\sqrt{\tan{x}}\)는 어떻게 적분해야 할까?

목표는 다음의 적분을 수행하는 것이다. $$\int \sqrt{\tan{x}}\, dx$$

먼저 치환적분을 한다.

$$\sqrt{\tan{x}} = t$$

$$\tan{x} = t^2 $$

$$\sec^{2}{x}\, dx = 2t\, dt$$

$$(1+t^{4})\, dx = 2t\, dt$$

$$dx=\frac{2t}{t^{4}+1}\, dt$$

$$\therefore \int \sqrt{\tan{x}}\, dx = 2 \int \frac{t^2}{t^{4}+1}\, dt$$

이제 식에서 \(\tan\)가 사라졌다. 이어서 분수를 적절히 바꾸어 주자.

$$\frac{t^2}{t^{4}+1} = \frac{t^2}{t^{4}+1+2t^{2}-2t^{2}}$$

$$= \frac{t^2}{{\left( t^2 + 1\right)}^{2}-{\left(\sqrt{2}t\right)}^{2}}$$

$$= \frac{t^2}{\left( t^2 - \sqrt{2}t + 1 \right)\left( t^2 + \sqrt{2}t + 1\right)}$$

$$= \frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}t}{t^2 - \sqrt{2}t + 1} - \frac{ \frac{1}{2\sqrt{2}}t}{t^2 + \sqrt{2}t + 1}$$

이 결과를 이용해서 적분을 해보자.

$$\int \sqrt{\tan{x}}\, dx$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2}}\left\{ \int \frac{t}{t^2 - \sqrt{2}t + 1}\, dt - \int \frac{t}{t^2 + \sqrt{2}t + 1}\, dt\right\} $$

$$= \frac{1}{\sqrt{2}}\left\{ \int \frac{ \frac{1}{2} \left(2t - \sqrt{2}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} }{t^2 - \sqrt{2}t + 1}\, dt - \int \frac{ \frac{1}{2} \left( 2t + \sqrt{2} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} }{t^2 + \sqrt{2}t + 1}\, dt \right\}$$

마지막 식은 당연히(!) 치환 적분을 사용하기 위함이다. 첫 번째 항만 먼저 계산해보자.

$$t^2 - \sqrt{2}t + 1 = u$$

$$\left(2t-\sqrt{2}\right)\, dt = du$$

$$ \int \frac{ \frac{1}{2} \left( 2t - \sqrt{2} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 - \sqrt{2}t + 1}\, dt$$

$$ = \int \frac{ \frac{1}{2} \left( 2t - \sqrt{2} \right) }{ t^2 - \sqrt{2}t + 1}\, dt + \int \frac{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 - \sqrt{2}t + 1}\, dt$$

$$ = \int \frac{ \frac{1}{2} }{u}\, du + \int \frac{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 - \sqrt{2}t + 1}\, dt$$

$$ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du + \int \frac{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 - \sqrt{2}t + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} }\, dt$$

$$ = \frac{1}{2} \ln{\left\vert u \right\vert} + C + \int \frac{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 - \sqrt{2}t + {\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^2 + {\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^2 }\, dt$$

$$ = \frac{1}{2} \ln{\left\vert t^2 - \sqrt{2}t + 1 \right\vert} + C + \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{ {\left( t - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^2 + {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2 }\, dt$$

여기서 남은 부분을 어떻게 적분해야 할까? 고등학교 과정에서 나오는 수학으로는 불가능해 보인다. 하지만 약간의 심화 과정인 역삼각함수를 이용하여 적분할 수 있다. 고등학교 과정의 수학으로도 충분히 유도 가능하니 잠깐 보도록 하자.

$$ \tan^{-1}{x} = y $$

$$ \tan{y} = x $$

$$ \sec^{2}{y}\, \frac{dy}{dx} = 1$$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^{2}{y}} = \frac{1}{\tan^{2}{y}} + 1 = \frac{1}{x^2 + 1}$$

$$ \frac{d}{dx} \tan^{-1}{x} = \frac{1}{x^2 + 1}$$

$$ \therefore \int \frac{1}{x^2 + 1}\, dx = \tan^{-1}{x} + C$$

또한 \(x\)자리에 \( ax+b \)를 넣은 식을 생각하면

$$ x = at+b $$

$$ dx = a\, dt$$

$$ \int \frac{1}{x^2 + 1}\, dx = \tan^{-1}{x} + C $$

$$ \int \frac{a}{ {\left( at+b \right)}^2 + 1}\, dt = \tan^{-1}{\left(at+b\right)} + C$$

$$ \therefore \frac{1}{a} \int \frac{1}{ {\left( x + \frac{b}{a} \right)}^{2} + \frac{1}{a^2} }\, dx = \tan^{-1}{\left(ax+b\right)} + C$$

이 공식을 이용하여 문제의 적분식을 계산할 수 있다.

$$ \frac{1}{2} \ln{\left\vert t^2 - \sqrt{2}t + 1 \right\vert} + C + \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{ {\left( t - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^2 + { \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) }^2 }\, dt$$

아까의 적분에서 분모가

$$ {\left(x+\frac{1}{a}\right)}^{2} + {\left(\frac{1}{a}\right)}^{2} $$꼴임에 주의하자. 역탄젠트 함수를 이용한 적분으로 계산 가능한 꼴인 것이다.

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{ {\left(t-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{2} + {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{2} }\, dt = \tan^{-1}{\left(\sqrt{2}t-1\right)} + C$$

이제 이것을 대입하면

$$ \int \frac{ \frac{1}{2} \left(2t-\sqrt{2}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 - \sqrt{2}t + 1}\, dt = \frac{1}{2} \ln{ \left\vert t^2 - \sqrt{2}t + 1 \right\vert} + \tan^{-1}{\left(\sqrt{2}t-1\right)} + C $$

이렇게 한쪽 항이 끝난다.

마찬가지의 방법으로 다른 항도 계산하면

$$ \int \frac{ \frac{1}{2} \left( 2t + \sqrt{2} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 + \sqrt{2}t + 1}\, dt = \frac{1}{2} \ln{ \left\vert t^2 + \sqrt{2}t + 1 \right\vert} - \tan^{-1}{ \left( \sqrt{2}t + 1 \right) } + C $$

이제 둘을 합치면

$$ \int \sqrt{\tan{x}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ \int \frac{ \frac{1}{2} \left( 2t - \sqrt{2} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 - \sqrt{2}t + 1 }\, dt - \int \frac{ \frac{1}{2} \left( 2t + \sqrt{2} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} }{ t^2 + \sqrt{2}t + 1}\, dt \right\} \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \left\{ \frac{1}{2} \ln{ \left\vert t^2 - \sqrt{2}t + 1 \right\vert } + \tan^{-1}{ \left( \sqrt{2}t - 1 \right) } \right\} - \left\{ \frac{1}{2} \ln{ \left\vert t^2 + \sqrt{2}t + 1 \right\vert } - \tan^{-1}{ \left( \sqrt{2}t + 1 \right) } \right\} \right] + C  $$

$$ \therefore \int \sqrt{\tan{x}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \left\{ \frac{1}{2} \ln{ \left\vert \tan{x} - \sqrt{2}\sqrt{ \tan{x} } + 1 \right\vert } + \tan^{-1}{ \left( \sqrt{2}\sqrt{ \tan{x} } - 1 \right) } \right\} \\ - \left\{ \frac{1}{2} \ln{ \left\vert \tan{x} + \sqrt{2}\sqrt{ \tan{x} } + 1 \right\vert } - \tan^{-1}{ \left( \sqrt{2}\sqrt{ \tan{x} } + 1 \right) } \right\} \right] + C $$