[문제] - 이산확률분포

앞면이 나올 확률이 \(p\left(0 < p < 1\right)\)인 동전을 여러 번 계속해서 던진다. 그런데 이 동전을 던질 때마다 그때까지 나온 앞면의 총 횟수가 짝수 번이면 1점을 얻고, 홀수 번이면 1점을 잃는다. 최초에 0점에서 시작하여 동전을 \(n\)번 던졌을 때의 득점의 기댓값을 \(E_n\)이라 한다.

(1) 이 동전을 \(n\)번 던져서 앞면이 나온 횟수가 짝수일 확률을 \(a_n\)이라 할 때, \(a_n\)을 구하여라. (단, \(n\geq 1\))

(2) \(E_n\) 및 \(\lim_{n \to \infty}E_n\)을 구하여라.

이를테면 동전을 3번 던져서 앞면, 뒷면, 앞면이 나왔다고 가정합시다. 그때까지 앞면이 나온 총 횟수는 2회 입니다. 다시 동전을 던져서(4번째) 뒷면이 나오면, 앞면이 나온 총 횟수는 2회이므로 1점을 얻습니다. 그러나 4번째 시행에서 동전의 앞면이 나오면, 앞면이 나온 총 횟수는 3회가 되므로 1점을 잃습니다. 그런 방식으로 1번째, 2번째, ... n번째 시행을 하여 최종 점수를 합산하는 방식입니다.

소문항 (1)부터 풀어봅시다. 동전을 던지는 시행을 \(n\)번 독립적으로 반복하므로 동전을 \(n\)번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 이산확률변수 \(X\)라고 하면 \(X \sim B\left(n,p\right)\)이고, $$ P\left(X=k\right) = _{n}\mathrm{C}_{k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k} $$

따라서

$$ a_{n} = _{n}\mathrm{C}_{0}p^{0}\left(1-p\right)^{n} + _{n}\mathrm{C}_{2}p^{2}\left(1-p\right)^{n-2} + \cdots + _{n}\mathrm{C}_{2 \left[\frac{n}{2}\right]}p^{2 \left[\frac{n}{2}\right]}\left(1-p\right)^{n-2 \left[\frac{n}{2}\right]} \\ = \sum_{k=0}^{n}{ _{n}\mathrm{C}_{k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k} \frac{1+\left(-1\right)^{k}}{2} } \\ = \frac{1}{2} \left\{ \sum_{k=0}^{n}{ _{n}\mathrm{C}_{k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k} } + \sum_{k=0}^{n}{ _{n}\mathrm{C}_{k}\left(-p\right)^{k}\left(1-p\right)^{n-k} } \right\} \\ = \frac{1}{2} \left\{ 1 + \left(1-2p\right)^{n} \right\} $$

이항정리를 이용한 테크닉은 자주 나오니 외워두는 편이 좋습니다. 보통은 \(\left(p+1-p\right)^{n}\)의 전개식과 \(\left(-p+1-p\right)^{n}\)의 전개식을 쓴 다음 변끼리 더하여 짝수 항끼리의 합을 구하는데, 다음 장치를 이용하면 쉽게 할 수 있습니다. $$ \frac{1+\left(-1\right)^{k}}{2}, \ \frac{1-\left(-1\right)^{k}}{2} $$

차례로 \(k\)가 짝수일 때만 남기거나, 홀수일 때만 남길 수 있습니다.

또한 가우스 기호 \(\left[x\right]\)를 이용하면 \(\cdots\)대신 짝수항의 끝을 명확하게 표현할 수 있습니다.

그럼 소문항 (2)를 풀어봅시다. 문제 상황을 이해하면, 매 동전을 던질 때마다 1점을 득점하거나, 실점할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 이를 이용해서 \(E_n\)을 바로 구하는 대신, 매 시행으로 나누어 구해볼 수 있습니다. 이산확률변수 \(Y_{k}\)를 \(k\)번째 시행에서 얻는 점수라고 합시다. 득점하면 \(Y_{k} = 1\)이고, 실점하면 \(Y_{k} = -1\)일 것입니다.

소문항 (1)에서 구한 \(a_{n}\)의 정의를 생각해보면, \(P\left(Y_{k} = 1\right) = a_{k}, \ P\left(Y_{k} = -1\right) = 1- a_{k}\)임을 알 수 있습니다.

$$ E_{n} = \sum_{k=1}^{n}\left\{ P\left(Y_{k} = 1\right) - P\left(Y_{k} = -1\right)\right\} = \sum_{k=1}^{n}\left(2a_{k}-1\right) = \sum_{k=1}^{n}\left(1-2p\right)^{k} \\ = \frac{\left(1-2p\right) \left\{ 1-\left(1-2p\right)^{n} \right\} }{1-\left(1-2p\right)} = \frac{\left(1-2p\right) \left\{ 1-\left(1-2p\right)^{n} \right\}}{2p}$$

이제 \(E_n\)의 값을 알기 때문에, 그 극한도 쉽게 구할 수 있습니다. \(0<p<1\)이므로, \(-1<1-2p<1\)입니다. 따라서

$$ \lim_{n \to \infty}E_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \left(1-2p\right) \left\{ 1-\left(1-2p\right)^{n} \right\}}{2p} = \frac{\left(1-2p\right) \left( 1-0 \right)}{2p} = \frac{1-2p}{2p} $$

이렇게 쉽게 답을 구할 수 있습니다.