문제 - 시그마 합 공식

우리는 다음의 공식을 익히 알고 있습니다.

$$ \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n\left(n+1\right)}{2} $$

문제는, \(k\left(k+1\right)\)의 합도 마찬가지의 꼴로 나타낼 수 있는가를 물어봅니다. 문제의 해결 방법에는 여러 가지가 있을 수 있습니다. 가장 쉽게 접근할 만한 것은 더해지는 \(k\left(k+1\right)\)를 전개하여 우리가 배운 꼴로 고치는 것입니다.

$$ \sum_{k=1}^{n}{k\left(k+1\right)} = \sum_{k=1}^{n}{\left(k^2 + k\right)} = \sum_{k=1}^{n}{k^2} + \sum_{k=1}^{n}{k} \\ = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6} + \frac{n\left(n+1\right)}{2} = n\left(n+1\right)\left(\frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2}\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} $$

그러나 만약 제시문에서 \(k^2\)의 합공식을 제시하지 않았다면, 따로 증명해야 할 것입니다. 다행히 \(k\)의 합공식은 아주 간단하게 보일 수 있습니다.

$$ \sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{1}{2} \left\{ \sum_{k=1}^{n}{k} + \sum_{k=1}^{n}{k} \right\} \\ = \frac{1}{2} \left\{ \sum_{k=1}^{n}{k} + \sum_{k=1}^{n}{\left(n+1-k\right)} \right\} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}{\left(n+1\right)} = \frac{n\left(n+1\right)}{2} $$

그럼 \(k+1\)의 합공식을 이용하지 않고 \(k\left(k+1\right)\)의 합공식을 구해봅시다.

$$ \sum_{k=1}^{n}{k\left(k+1\right)} = \sum_{k=1}^{n}{k \left( k+1 \right) \left\{ \left( k+2 \right) - \left( k-1 \right) \right\} } \times \frac{1}{3} \\ = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n}{ \left\{ k \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) - \left( k-1 \right) k \left( k+1 \right) \right\} } \\ = \frac{1}{3} \left\{ \sum_{k=1}^{n}{k \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) } - \sum_{k=1}^{n}{ \left( k-1 \right) k \left( k+1 \right) } \right\} \\ = \frac{1}{3} \left\{ \sum_{k=1}^{n}{k \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) } - \sum_{k=0}^{n-1}{ k \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) } \right\} \\ = \frac{1}{3} \left\{ n \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) - 0 \times 1 \times 2 \right\} \\ = \frac{1}{3} n \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) $$

망원급수를 이끌어냈습니다. 망원급수로 변형하는 테크닉은 공식 없이도 풀이에 논리성을 더하는, 강력한 수단입니다. 일반적으로 논술 문항은 아주 기본적인 공식 외에는 따로 증명을 해주어야 하는데, 시간과 지면이 아깝습니다. 경제적인 망원급수를 씁시다.