공간도형

공간도형은 해석기하로 고통받던 학생들에게 중학교 적 논증기하의 악몽을 되살려주는 단원입니다. 비록 2015 개정 교육과정을 적용받는 02년생부터는 공간도형 자체를 배우지 않을 것 같지만 알아두면 유용할 것입니다.

1. 공간도형의 기본 성질 (공리로 생각합시다)

• 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나 있다.
• 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 존재한다.
• 한 평면 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선 위의 모든 점은 그 평면 위에 있다. (이 때 평면은 해당 직선을 품는다고 합니다.)
• 서로 다른 두 평면이 한 점을 공유하면 이 두 평면은 그 점을 지나는 직선을 공유한다.
• 한 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 평행한 직선은 오직 하나 있다.

이때, 두 직선이 평행하다는 말은 두 직선이 한 평면 위에 있으면서 서로 만나지 않을 경우를 뜻합니다.

2. 꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각

꼬인 위치에 있지 않은 두 직선이 이루는 각은 두 직선을 포함하는 평면에서의 각으로 생각할 수 있습니다.

두 직선 \(l\), \(m\)이 꼬인 위치에 있을 때, 직선 \(m\)위의 한 점 \(O\)를 잡고 \(O\)를 지나고 직선 \(l\)에 평행한 직선 \(l^{\prime}\)을 그으면, 두 직선 \(l^{\prime}\), \(m\)은 점 \(O\)에서 만난다. 이 때, 두 직선 \(l^{\prime}\)과 \(m\)이 이루는 각을 두 직선 \(l\), \(m\)이 이루는 각이라고 한다.

3. 직선과 평면의 수직

직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\)와 점 \(O\)에서 만나고, 점 \(O\)를 지나는 \(\alpha\)위의 임의의 직선과 직교할 때, 직선 \(l\)과 평면 \(\alpha\)는 수직이라 하고, 이것을 기호로 \(l \perp \alpha\)로 나타낸다. 이 때, 직선 \(l\)을 평면 \(\alpha\)의 수선, 점 \(O\)를 수선의 발이라고 한다.

평면 \(\alpha\) 위의 평행하지 않은 두 직선 \(a\), \(b\)에 수직인 직선 \(l\)은 평면 \(\alpha\)에 수직이다. 곧 \(l \perp \alpha\)

증명은 평면 \(\alpha\)위에 있으면서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 \(O\), \(A\), \(B\)를 잡고, 점 \(O\)를 지나면서 직선 \(OA\), 직선 \(OB\)에 수직인 직선 \(l\)을 생각합니다. 점 \(O\)가 아니면서 직선 \(l\)위에 있는 점 \(P\)를 생각하면, 점 \(P\)는 평면 \(\alpha\)위에 있지 않습니다. 이때 직선 \(l\)위에 있으면서 \(\overline{OP} = \overline{OP'}\)을 만족하는 점 \(P'\)을 생각합니다. 그럼 \(\triangle POA \equiv \triangle P'OA \ \left(SAS\right)\) 이고 \(\triangle POB \equiv \triangle P'OB \ \left(SAS\right)\) 입니다. 합동에 의해 \(\overline{PA} = \overline{P'A}, \ \overline{PB} = \overline{P'B}\)가 성립합니다. \(\overline{AB}\)은 공통이므로, \(\triangle PAB \equiv \triangle P'AB \ \left(SSS\right)\) 따라서 \(\angle PAB = \angle P'AB\)가 성립합니다. 따라서 직선 \(AB\)위에 \(A\), \(B\)이 아닌 점 \(C\)를 생각하면 \(\triangle PAC \equiv \triangle P'AC \ \left(SAS \right)\)이 성립합니다. 따라서 \(\overline{PC} = \overline{P'C}\)가 성립하므로 \(\triangle PP'C\)는 이등변삼각형이고, \(\overline{OP} = \overline{OP'}\)이므로 \(l = \overline{PP'} \perp \overline{OC}\) 따라서 직선 \(l\)은 평면 \(\alpha\)위의 임의의 직선과 수직이므로, 정의에 의해 \(l \perp \alpha\)

4. 직선과 평면이 이루는 각

직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\)와 점 \(O\)에서 만날 때, 직선 위의 임의의 점 \(A\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(B\)라 하면 \(\angle AOB\)를 직선 \(l\)과 평면 \(\alpha\)가 이루는 각이라 한다.

5. 두 평면이 이루는 각(이면각)

두 평면이 만날 때, 그 교선을 공유하는 두 반평면이 이루는 도형을 이면각이라 하고, 그 교선을 이면각의 변, 그 반평면들을 이면각의 면이라 한다. 이면각의 변 위에 한 점 \(O\)를 지나 각 면 위에서 변에 수직인 직선 \(OA\), \(OB\)를 그을 때, \(\angle AOB\)의 크기를 이면각의 크기라고 한다. 또, 두 평면이 만날 때, 이와 같은 이면각의 크기를 두 평면이 이루는 각이라고 한다. 특히 두 평면 \(\alpha\), \(\beta\)가 이루는 각이 직각일 때, 두 평면은 수직이라 하고, \(\alpha \perp \beta\)로 나타낸다.

6. 삼수선의 정리

평면 \(\alpha\) 위의 직선 \(l\)과 평면 \(\alpha\)위에 있지 않은 한 점을 \(P\)라 할 때,

• 점 \(P\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(M\), \(M\)에서 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(N\)이라 하면 \(\overline{PN} \perp l\)이다. 즉, \(\overline{PM} \perp \alpha \land \overline{MN} \perp l \Rightarrow \overline{PN} \perp l\)
• 점 \(P\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(M\), 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(N\)이라 하면 \(\overline{MN} \perp l\)이다. 즉, \(\overline{PM} \perp \alpha \land \overline{PN} \perp l \Rightarrow \overline{MN} \perp l\)
• 점 \(P\)에서 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(N\), \(N\)에서 \(l\)에 수직이고 \(\alpha\)위에 있는 직선을 그을 때, 점 \(P\)에서 그 직선에 내린 수선의 발을 \(M\)이라 하면 \(\overline{PM} \perp \alpha\)이다. 즉, \(\overline{PN} \perp l \land \overline{NM} \perp l \land \overline{PM} \perp \overline{NM} \Rightarrow \overline{PM} \perp \alpha\)

7. 직선과 평면의 수직에 관한 정리

• 직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\)에 수직일 때, \(l\)을 포함하는 모든 평면은 평면 \(\alpha\)에 수직이다.
• 한 평면에 수직인 두 직선은 서로 평행하다.
• 한 직선에 수직인 두 평면은 서로 평행하다.
• 한 평면에 수직인 두 평면의 교선은 처음 평면에 수직이다.

8. 정사영의 정의

점 \(P\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(P'\)을 점 \(P\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이라 한다. 일반적으로, 도형 \(F\)에 속하는 각 점의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영 전체로 이루어진 도형 \(F'\)를 도형 \(F\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이라 한다. 이 때, 평면 \(\alpha\)를 투영면이라 한다.

9. 정사영의 길이

선분 \(\overline{AB}\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영을 \(\overline{A'B'}\)이라 하고, 직선 \(AB\)가 평면 \(\alpha\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라고 하면 \(\overline{A'B'} = \overline{AB} \cos \theta\) (단, \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\))

10. 정사영의 넓이

평면 \(\alpha\) 위로의 도형 \(F\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(F'\)이라 하고, \(F\), \(F'\)의 넓이를 각각 \(S\), \(S'\)라 할 때, \(\alpha\)와 \(\beta\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하면 \(S' = S \cos \theta\) (단, \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\))