공간도형

공간도형은 해석기하로 고통받던 학생들에게 중학교 적 논증기하의 악몽을 되살려주는 단원입니다. 비록 2015 개정 교육과정을 적용받는 02년생부터는 공간도형 자체를 배우지 않을 것 같지만 알아두면 유용할 것입니다.

1. 공간도형의 기본 성질 (공리로 생각합시다)

• 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나 있다.
• 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 존재한다.
• 한 평면 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선 위의 모든 점은 그 평면 위에 있다. (이 때 평면은 해당 직선을 품는다고 합니다.)
• 서로 다른 두 평면이 한 점을 공유하면 이 두 평면은 그 점을 지나는 직선을 공유한다.
• 한 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 평행한 직선은 오직 하나 있다.

이때, 두 직선이 평행하다는 말은 두 직선이 한 평면 위에 있으면서 서로 만나지 않을 경우를 뜻합니다.

2. 꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각

꼬인 위치에 있지 않은 두 직선이 이루는 각은 두 직선을 포함하는 평면에서의 각으로 생각할 수 있습니다.

두 직선 $l$, $m$이 꼬인 위치에 있을 때, 직선 $m$위의 한 점 $O$를 잡고 $O$를 지나고 직선 $l$에 평행한 직선 $l^{\prime}$을 그으면, 두 직선 $l^{\prime}$, $m$은 점 $O$에서 만난다. 이 때, 두 직선 $l^{\prime}$과 $m$이 이루는 각을 두 직선 $l$, $m$이 이루는 각이라고 한다.

3. 직선과 평면의 수직

직선 $l$이 평면 $\alpha$와 점 $O$에서 만나고, 점 $O$를 지나는 $\alpha$위의 임의의 직선과 직교할 때, 직선 $l$과 평면 $\alpha$는 수직이라 하고, 이것을 기호로 $l \perp \alpha$로 나타낸다. 이 때, 직선 $l$을 평면 $\alpha$의 수선, 점 $O$를 수선의 발이라고 한다.

평면 $\alpha$ 위의 평행하지 않은 두 직선 $a$, $b$에 수직인 직선 $l$은 평면 $\alpha$에 수직이다. 곧 $l \perp \alpha$

증명은 평면 $\alpha$위에 있으면서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $O$, $A$, $B$를 잡고, 점 $O$를 지나면서 직선 $OA$, 직선 $OB$에 수직인 직선 $l$을 생각합니다. 점 $O$가 아니면서 직선 $l$위에 있는 점 $P$를 생각하면, 점 $P$는 평면 $\alpha$위에 있지 않습니다. 이때 직선 $l$위에 있으면서 $\overline{OP} = \overline{OP'}$을 만족하는 점 $P'$을 생각합니다. 그럼 $\triangle POA \equiv \triangle P'OA \ \left(SAS\right)$ 이고 $\triangle POB \equiv \triangle P'OB \ \left(SAS\right)$ 입니다. 합동에 의해 $\overline{PA} = \overline{P'A}, \ \overline{PB} = \overline{P'B}$가 성립합니다. $\overline{AB}$은 공통이므로, $\triangle PAB \equiv \triangle P'AB \ \left(SSS\right)$ 따라서 $\angle PAB = \angle P'AB$가 성립합니다. 따라서 직선 $AB$위에 $A$, $B$이 아닌 점 $C$를 생각하면 $\triangle PAC \equiv \triangle P'AC \ \left(SAS \right)$이 성립합니다. 따라서 $\overline{PC} = \overline{P'C}$가 성립하므로 $\triangle PP'C$는 이등변삼각형이고, $\overline{OP} = \overline{OP'}$이므로 $l = \overline{PP'} \perp \overline{OC}$ 따라서 직선 $l$은 평면 $\alpha$위의 임의의 직선과 수직이므로, 정의에 의해 $l \perp \alpha$

4. 직선과 평면이 이루는 각

직선 $l$이 평면 $\alpha$와 점 $O$에서 만날 때, 직선 위의 임의의 점 $A$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $B$라 하면 $\angle AOB$를 직선 $l$과 평면 $\alpha$가 이루는 각이라 한다.

5. 두 평면이 이루는 각(이면각)

두 평면이 만날 때, 그 교선을 공유하는 두 반평면이 이루는 도형을 이면각이라 하고, 그 교선을 이면각의 변, 그 반평면들을 이면각의 면이라 한다. 이면각의 변 위에 한 점 $O$를 지나 각 면 위에서 변에 수직인 직선 $OA$, $OB$를 그을 때, $\angle AOB$의 크기를 이면각의 크기라고 한다. 또, 두 평면이 만날 때, 이와 같은 이면각의 크기를 두 평면이 이루는 각이라고 한다. 특히 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각이 직각일 때, 두 평면은 수직이라 하고, $\alpha \perp \beta$로 나타낸다.

6. 삼수선의 정리

평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$과 평면 $\alpha$위에 있지 않은 한 점을 $P$라 할 때,

• 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $M$, $M$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하면 $\overline{PN} \perp l$이다. 즉, $\overline{PM} \perp \alpha \land \overline{MN} \perp l \Rightarrow \overline{PN} \perp l$
• 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $M$, 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하면 $\overline{MN} \perp l$이다. 즉, $\overline{PM} \perp \alpha \land \overline{PN} \perp l \Rightarrow \overline{MN} \perp l$
• 점 $P$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $N$, $N$에서 $l$에 수직이고 $\alpha$위에 있는 직선을 그을 때, 점 $P$에서 그 직선에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\overline{PM} \perp \alpha$이다. 즉, $\overline{PN} \perp l \land \overline{NM} \perp l \land \overline{PM} \perp \overline{NM} \Rightarrow \overline{PM} \perp \alpha$

7. 직선과 평면의 수직에 관한 정리

• 직선 $l$이 평면 $\alpha$에 수직일 때, $l$을 포함하는 모든 평면은 평면 $\alpha$에 수직이다.
• 한 평면에 수직인 두 직선은 서로 평행하다.
• 한 직선에 수직인 두 평면은 서로 평행하다.
• 한 평면에 수직인 두 평면의 교선은 처음 평면에 수직이다.

8. 정사영의 정의

점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $P'$을 점 $P$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이라 한다. 일반적으로, 도형 $F$에 속하는 각 점의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 전체로 이루어진 도형 $F'$를 도형 $F$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이라 한다. 이 때, 평면 $\alpha$를 투영면이라 한다.

9. 정사영의 길이

선분 $\overline{AB}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\overline{A'B'}$이라 하고, 직선 $AB$가 평면 $\alpha$와 이루는 예각의 크기를 $\theta$라고 하면 $\overline{A'B'} = \overline{AB} \cos \theta$ (단, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$)

10. 정사영의 넓이

평면 $\alpha$ 위로의 도형 $F$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영을 $F'$이라 하고, $F$, $F'$의 넓이를 각각 $S$, $S'$라 할 때, $\alpha$와 $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $S' = S \cos \theta$ (단, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$)