수열의 극한과 급수(이론편)

2009 개정 교육과정의 미적분1에 처음 등장하는 개념은 수열의 극한과 급수입니다. 개인적으로 이 부분을 공부하며 중요하다고 생각했습니다. 그 이유는 극한의 개념이 처음 등장하는 장이기 때문이고, 앞으로 중요하게 다루어질 함수의 극한 중 특수한 상황(정의역이 모든 자연수가 속하는 집합)이기 때문입니다. 그런 의미에서 한 번 정리해보려고 합니다.

수열의 개념 등 수학1, 수학2에 등장하는 개념은 이미 배웠다고 전제하고 있습니다. 개념은 수학의 정석 실력 편을 참고하여 정리하였으나 제 임의로 바꾼 부분도 있습니다.

 

1. 수열의 극한

1) 수열의 수렴과 발산

수열 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots , a_{n}, \cdots$에서 $n$이 한없이 커질 때, $a_{n}$이 일정한 값 $\alpha$에 한없이 가까워지면 수열$\{a_{n}\}$은 $\alpha$에 수렴한다고 하고, 기호로 다음과 같이 표시합니다.

$$\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$$

이때 $\alpha$를 수열$\{a_{n}\}$의 극한 또는 극한값이라 합니다.

 

이러한 설명은 쉽지만 애매합니다. $y=1/x$의 그래프를 생각하면 한없이 가까워진다는 표현이 어떤 의미일지 이해될 것입니다. 하지만 앞으로 전개될 논리에 맞춘 정의는 없을까요?

 

그래서 한없이 다가간다는 개념을 다르게 씁니다. 얼마든지 가까이 다가갈 수 있다고 말입니다. 만약 아무리 작은 양수 $\epsilon$을 제시하더라도 그보다 거리가 가까워질 수 있다면, 한없이 다가간다고 할 수 있을 것입니다. 수학에서 아무리 작은 양수 $\epsilon$은 임의의 양수 $\epsilon$으로 표현할 수 있습니다. 다시 말하여 아무런 양수를 제시하더라도, 그보다 거리가 작아질 수 있다면 어떨까 하는 것입니다. $\epsilon$으로 1000 같은 비교적 큰 수를 제시할 경우에는 거리가 1000보다 작기만 하면 되므로 쉽습니다. 하지만 $\epsilon$이 임의의 양수라는 것은 가령 $10^{-100}$ 같은 아주 작은 수일 수도 있다는 것입니다. 그래서 '아무리 작은 양수'라는 표현 대신 '임의의 양수'라고 표현하더라도 문제가 없습니다.

 

그리고, 거리는 당연하게도 절댓값 함수를 사용합니다. 애초에 절댓값을 배우면서 원점으로부터의 거리라고 공부한 기억이 있을 것입니다. 그래서 수열 $\{a_{n}\}$이 $\alpha$로 수렴한다는 것의 엄밀한 정의는 다음과 같습니다.

$$\forall \epsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{such that} \quad n>N \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon$$

 

이를 $\epsilon-N$논법이라고 합니다. 한글로 조금 풀어쓰면 아무 양수 $\epsilon$을 잡더라도, $n> N$이면 $\left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon$이 항상 성립하는 자연수 $N$이 언제나 존재한다는 뜻입니다($\mathbb{N}$은 모든 자연수가 속하는 무한집합입니다). 이때 당연하게도, $\alpha$는 유한하고 변하지 않는 값입니다. 그러나 $N$은 $\epsilon$을 무엇으로 잡느냐에 따라 달라질 수 있습니다.

 

이를테면 일반항이 $a_{n} = 1/10^{n}$인 수열 $\{a_{n}\}$을 생각합시다. 이 수열은 $a_{1}=0.1,\ a_{2}=0.01,\ a_{3}=0.001,\ \cdots$이런 식으로 쭉 이어집니다. 직관적으로 $\{a_{n}\}$은 0으로 수렴할 것 같습니다. 위의 정의에서 극한값 $\alpha = 0$으로 하고 $\epsilon = 1$ 로 한다면 $N$은 1부터 가능합니다. 하지만 $\epsilon = 0.02$ 로 한다면 $N$이 1이면 안되고, 2부터 가능할 것입니다. 즉 $N$이 가질 수 있는 값은 $\epsilon$에 따라 달라지기 마련입니다. 위의 정의에서는 such that 이하의 조건을 만족하는 $N$을 하나라도 잡을 수 있으면 됩니다. $N$을 조건을 만족하는 가장 작은 자연수라고 생각한다면, $\epsilon$에 대한 함수라고 생각할 수 있겠습니다. 그래서 어떤 책에서는 $N(\epsilon)$처럼 표기하기도 합니다.

 

수렴은 이처럼 엄---밀하게 정의했는데, 그럼 발산은요? 간단합니다. 발산은 수렴하지 않는 모든 경우입니다. 일반적으로 마주할 수 있는 상황은 양의 무한대로 발산, 음의 무한대로 발산, 진동입니다. 양의 무한대로 발산하는 경우는 $n$이 커짐에 따라 수열 $a_{n}$이 끝없이 커지는 경우이고, 음의 무한대로 발산은 반대로 $n$이 커짐에 따라 수열 $a_{n}$이 끝없이 작아지는 경우입니다. 진동은 수열 $a_{n}$이 커졌다 작아졌다 하여 수렴하지 않는 경우입니다. 다음과 같은 경우가 진동하는 수열입니다.

$$\lim_{n \to \infty}(-1)^{n}$$

 

여기서 무한대라는 용어가 나오고, 앞의 극한 기호에서 보았던 $\infty$가 등장합니다. 흔히 무한대로 발산하는 경우에는 다음과 같이 $\infty$를 상수처럼 표기하기도 하지만, 무한대는 상태를 나타내는 표현입니다.

$$\lim_{n \to \infty}a_{n} = \infty$$

$$\lim_{n \to \infty}b_{n} = - \infty$$

$\lim$ 밑에 써진 $n \to \infty$는 $\forall G > 0$ 에 대하여 $n> G$인 상태, 그러니까 $n$이 계속 커지는 상태를 나타낼 뿐입니다. 정석에서도 $a_{n}$이 $\infty$라는 수에 가까워짐을 뜻하는 것이 아니라고 강조하고 있습니다.

 

2) 수열의 극한에 관한 기본 성질

수열 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$에 대하여 $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$, $\lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta$ 이면 다음이 성립합니다. 단, $k$는 상수입니다.

$$\lim_{n \to \infty}ka_{n} = k \lim_{n \to \infty}a_{n} = k \alpha$$

$$\lim_{n \to \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right) = \lim_{n \to \infty}a_{n} \pm \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha \pm \beta \quad \text{(복부호 동순)}$$

$$\lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \lim_{n \to \infty}a_{n} \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha \beta$$

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}} = \frac{\alpha}{\beta} \quad \text{(단,} \ b_{n} \neq 0, \ \beta \neq 0 \text{)}$$

 

이에 대한 증명은 고등학교 범위에서 배우지 않지만, 위에서 언급한 엄밀한 정의를 이용하여 증명해봅시다. 수열 $\left\{a_{n}\right\}$, $\left\{b_{n}\right\}$이 각각 $\alpha$, $\beta$로 수렴한다고 가정합니다.

 

두 번째 성질(+인 경우)부터 확인해봅시다.

주어진 양수 $\epsilon$에 대하여, $\epsilon/2 > 0$ 이고 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha$이므로 다음을 만족하는 자연수 $N_{1}$이 존재합니다.

$$n>N_{1} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \frac{\epsilon}{2}$$

그리고 $\epsilon/2 > 0$이고 $\lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta$이므로 다음을 만족하는 자연수 $N_{2}$이 존재합니다.

$$n>N_{2} \Rightarrow \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \frac{\epsilon}{2}$$

이제 적당한 자연수 $N = \max(N_{1}, N_{2})$에 대하여 $n > N$이면 $\left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon/2$이고 $\left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \epsilon/2$이 성립합니다. 따라서 삼각 부등식에 의하여 다음이 성립합니다.

$$\exists N \in \mathbb{N} \quad \text{such that} \quad n>N \Rightarrow \left\vert \left( a_{n} + b_{n} \right) - \left( \alpha + \beta \right) \right\vert \leq \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert + \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

따라서 수열의 극한의 정의에 의하여

$$\lim_{n \to \infty}\left(a_{n} + b_{n} \right) = \alpha + \beta$$

 

이제 세 번째 성질을 증명해봅시다.

우선 삼각부등식에 의하여 다음이 성립합니다.

$$\left\vert a_{n}b_{n} - \alpha\beta \right\vert \\ = \left\vert a_{n}b_{n} - \alpha b_{n} + \alpha b_{n} - \alpha\beta \right\vert \\ = \left\vert \left[ a_{n} - \alpha \right]b_{n} + \alpha \left[ b_{n} - \beta \right] \right\vert \\ \leq \left\vert \left[ a_{n} - \alpha \right]b_{n} \right\vert + \left\vert \alpha \left[ b_{n} - \beta \right] \right\vert \\ = \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert \left\vert b_{n} \right\vert + \left\vert \alpha \right\vert \left\vert b_{n} - \beta \right\vert$$

정리하면 다음과 같습니다.

$$\left\vert a_{n}b_{n} - \alpha\beta \right\vert \leq \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert \left\vert b_{n} \right\vert + \left\vert \alpha \right\vert \left\vert b_{n} - \beta \right\vert \cdots (1)$$

주어진 양수 $\epsilon$에 대하여, $\lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta$이므로 다음을 만족하는 자연수 $N_{1}$이 존재합니다.

$$n>N_{1} \Rightarrow \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \frac{\epsilon}{2\left\vert \alpha \right\vert}$$

또한 $1 > 0$이므로, 다음을 만족하는 자연수 $N_{2}$이 존재합니다.

$$n > N_{2} \Rightarrow \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < 1$$

$$\therefore \left\vert b_{n} \right\vert = \left\vert b_{n} - \beta + \beta \right\vert \leq \left\vert b_{n} - \beta \right\vert + \left\vert \beta \right\vert < 1 + \left\vert \beta \right\vert$$

$\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$이므로, 다음을 만족하는 자연수 $N_{3}$이 존재합니다.

$$n > N_{3} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \frac{\epsilon}{2\left( 1 + \left\vert \beta \right\vert \right)}$$

이제 적당한 자연수 $N = \max(N_{1}, N_{2}, N_{3})$에 대하여 $n > N$이면 (1)에 의하여 다음이 성립합니다.

$$\left\vert a_{n}b_{n} - \alpha \beta \right\vert \leq \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert \left\vert b_{n} \right\vert + \left\vert \alpha \right\vert \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \frac{\epsilon}{2\left( 1 + \left\vert \beta \right\vert \right)} \left( 1 + \left\vert \beta \right\vert \right) + \left\vert \alpha \right\vert \frac{\epsilon}{2 \left\vert \alpha \right\vert} = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

따라서 수열의 극한의 정의에 의하여

$$\lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \alpha \beta$$

 

이제 첫 번째 성질을 증명해봅시다. 증명에 앞서, 상수수열은 $n \to \infty$이면 자신으로 수렴함을 가정하는데, 이에 대한 증명은 극한의 정의를 사용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.

수열 $\left\{a_{n}\right\}$, $\left\{b_{n}\right\}$에 대하여 $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$, $b_{n} = k$라고 합시다. 위에서 증명한 세 번째 성질에 의하여, 다음이 성립합니다.

$$\lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \lim_{n \to \infty}ka_{n} = \lim_{n \to \infty}k \lim_{n \to \infty}a_{n} = k\alpha$$

 

이제 두 번째 성질(-인 경우)도 증명할 수 있습니다($k = -1$).

$$\lim_{n \to \infty}\left(a_{n} - b_{n}\right) = \lim_{n \to \infty}a_{n} + \lim_{n \to \infty}\left(-1\right)b_{n} = \alpha + \left(-1\right)\lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha - \beta$$

 

네 번째 성질은 다음을 보인 뒤, 세 번째 성질을 활용하여 증명할 것입니다.

$$\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{\alpha}$$

주어진 양수 $\epsilon$에 대하여, $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$이므로 다음을 만족하는 자연수 $N_{1}$이 존재합니다.

$$n>N_{1} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \frac{\left\vert \alpha \right\vert}{2}$$

$$\therefore \left\vert \alpha \right\vert = \left\vert \alpha - a_{n} + a_{n} \right\vert \leq \left\vert \alpha - a_{n} \right\vert + \left\vert a_{n} \right\vert < \frac{\left\vert \alpha \right\vert}{2} + \left\vert a_{n} \right\vert$$

$$\therefore n > N_{1} \Rightarrow \left\vert a_{n} \right\vert > \frac{\left\vert \alpha \right\vert}{2}$$

또한 $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$이므로, 다음을 만족하는 자연수 $N_{2}$이 존재합니다.

$$n > N_{2} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \frac{\alpha^{2}}{2} \epsilon$$

이제 적당한 자연수 $N = \max(N_{1}, N_{2})$에 대하여 $n > N$이면 다음이 성립합니다.

$$\left\vert \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{\alpha} \right\vert = \frac{\left\vert a_{n} - \alpha \right\vert}{\left\vert \alpha a_{n} \right\vert} < \frac{2}{\alpha^{2}} \frac{\alpha^{2}}{2} \epsilon = \epsilon$$

따라서 수열의 극한의 정의에 의하여

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{\alpha}$$

따라서 세 번째 성질에 의하여

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty}a_{n} \frac{1}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty}a_{n} \lim_{ n \to \infty}\frac{1}{b_{n}} = \alpha \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha}{\beta}$$

이렇게 수열의 극한에 관한 기본 성질을 모두 증명해보았습니다. 이와 유사한 방법으로, 온갖 수열의 극한 문제를 증명할 수 있습니다. 그러나 증명하기에 앞서 극한값을 예상해야 하고, 매번 복잡하게 증명하는 것은 불편하기에 앞서 증명한 성질들을 활용하여 극한값을 구하는 방법을 사용합니다.

 

3) 극한과 부등식

수열 $\left\{a_{n}\right\}$, $\left\{b_{n}\right\}$, $\left\{c_{n}\right\}$에 대하여 다음이 성립합니다.

 

$a_{n} \leq b_{n}$이고, $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$, $\lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta$ 이면 $\alpha \leq \beta$

$a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$이고, $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha$ 이면 $\lim_{n \to \infty}c_{n} = \alpha$ (샌드위치 정리, 조임 정리)

 

첫 번째 정리부터 증명해봅시다. 귀류법을 사용합니다.

귀류법은 결론을 부정하고 시작합니다. 그러니까 $\beta < \alpha$라고 가정해봅시다.

극한에 관한 기본 성질에 의하여 다음이 성립합니다.

$$\lim_{n \to \infty}\left(b_{n} - a_{n}\right) = \beta - \alpha$$

가정에 의하여 $\alpha - \beta > 0$이므로, 다음을 만족하는 자연수 $N$이 존재합니다.

$$n > N \Rightarrow \left\vert \left( b_{n} - a_{n} \right) - \left( \beta - \alpha \right) \right\vert < \alpha - \beta$$

$$\therefore n > N \Rightarrow \left( b_{n} - a_{n} \right) - \left( \beta - \alpha \right) < \alpha - \beta$$

$$\therefore n > N \Rightarrow b_{n} < a_{n}$$

이는 $a_{n} \leq b_{n}$에 모순이므로, $\beta < \alpha$는 거짓입니다. 즉 $\alpha \leq \beta$입니다.

 

두 번째 정리는 샌드위치 정리, 혹은 조임 정리라고 불립니다. 말 그대로 $c_{n}$을 부등식으로 조여서 극한값을 구하기 때문입니다. 그러나 조임 정리의 의의는 단순히 극한값이 $\alpha$라는 것뿐이 아닙니다. 바로 극한값이 존재한다는 사실입니다. 사실 두 번째 정리에서 $c_{n}$이 수렴한다고 가정하면 첫 번째 정리만으로 쉽게 증명됩니다. 하지만 과연 $c_{n}$이 언제나 수렴할까요? 보통 조임정리는 고등학교 미적분의 사기 정리 중 하나입니다. 사실상 주어진 수열(혹은 함수)이 수렴함을 증명할 수 있는 유일한 정리이기 때문입니다. 그렇기에 대충 넘어가지 말고 증명해봅시다.

주어진 양수 $\epsilon$에 대하여, $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$이므로 다음을 만족하는 자연수 $N_{1}$이 존재합니다.

$$n > N_{1} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon$$

이는 다시 말해

$$n > N_{1} \Rightarrow \alpha - \epsilon < a_{n} < \alpha + \epsilon$$

마찬가지로 $\lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha$이므로, 다음을 만족하는 자연수 $N_{2}$이 존재합니다.

$$n > N_{2} \Rightarrow \alpha - \epsilon < b_{n} < \alpha + \epsilon$$

이제 적당한 자연수 $N = \max(N_{1}, N_{2})$에 대하여 $n > N$이면 다음이 성립합니다.

$$\alpha - \epsilon < a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} < \alpha + \epsilon$$

다시 말해 다음이 성립합니다.

$$\alpha - \epsilon < c_{n} < \alpha + \epsilon$$

$$\therefore \left\vert c_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon$$

따라서 수열의 극한의 정의에 의하여

$$\lim_{n \to \infty}c_{n} = \alpha$$

 

이렇게 기본적인 성질을 다 증명해보았습니다.