수열의 극한과 급수(이론편)

2009 개정 교육과정의 미적분1에 처음 등장하는 개념은 수열의 극한과 급수입니다. 개인적으로 이 부분을 공부하며 중요하다고 생각했습니다. 그 이유는 극한의 개념이 처음 등장하는 장이기 때문이고, 앞으로 중요하게 다루어질 함수의 극한 중 특수한 상황(정의역이 모든 자연수가 속하는 집합)이기 때문입니다. 그런 의미에서 한 번 정리해보려고 합니다.

수열의 개념 등 수학1, 수학2에 등장하는 개념은 이미 배웠다고 전제하고 있습니다. 개념은 수학의 정석 실력 편을 참고하여 정리하였으나 제 임의로 바꾼 부분도 있습니다.

 

1. 수열의 극한

1) 수열의 수렴과 발산

수열 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots , a_{n}, \cdots\)에서 \(n\)이 한없이 커질 때, \(a_{n}\)이 일정한 값 \(\alpha\)에 한없이 가까워지면 수열\(\{a_{n}\}\)은 \(\alpha\)에 수렴한다고 하고, 기호로 다음과 같이 표시합니다.

$$ \lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha $$

이때 \(\alpha\)를 수열\(\{a_{n}\}\)의 극한 또는 극한값이라 합니다.

 

이러한 설명은 쉽지만 애매합니다. \(y=1/x\)의 그래프를 생각하면 한없이 가까워진다는 표현이 어떤 의미일지 이해될 것입니다. 하지만 앞으로 전개될 논리에 맞춘 정의는 없을까요?

 

그래서 한없이 다가간다는 개념을 다르게 씁니다. 얼마든지 가까이 다가갈 수 있다고 말입니다. 만약 아무리 작은 양수 \(\epsilon\)을 제시하더라도 그보다 거리가 가까워질 수 있다면, 한없이 다가간다고 할 수 있을 것입니다. 수학에서 아무리 작은 양수 \(\epsilon\)은 임의의 양수 \(\epsilon\)으로 표현할 수 있습니다. 다시 말하여 아무런 양수를 제시하더라도, 그보다 거리가 작아질 수 있다면 어떨까 하는 것입니다. \(\epsilon\)으로 1000 같은 비교적 큰 수를 제시할 경우에는 거리가 1000보다 작기만 하면 되므로 쉽습니다. 하지만 \(\epsilon\)이 임의의 양수라는 것은 가령 \(10^{-100}\) 같은 아주 작은 수일 수도 있다는 것입니다. 그래서 '아무리 작은 양수'라는 표현 대신 '임의의 양수'라고 표현하더라도 문제가 없습니다.

 

그리고, 거리는 당연하게도 절댓값 함수를 사용합니다. 애초에 절댓값을 배우면서 원점으로부터의 거리라고 공부한 기억이 있을 것입니다. 그래서 수열 \(\{a_{n}\}\)이 \(\alpha\)로 수렴한다는 것의 엄밀한 정의는 다음과 같습니다.

$$ \forall \epsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{such that} \quad n>N \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon $$

 

이를 \(\epsilon-N\)논법이라고 합니다. 한글로 조금 풀어쓰면 아무 양수 \(\epsilon\)을 잡더라도, \(n> N\)이면 \(\left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon\)이 항상 성립하는 자연수 \(N\)이 언제나 존재한다는 뜻입니다(\(\mathbb{N}\)은 모든 자연수가 속하는 무한집합입니다). 이때 당연하게도, \(\alpha\)는 유한하고 변하지 않는 값입니다. 그러나 \(N\)은 \(\epsilon\)을 무엇으로 잡느냐에 따라 달라질 수 있습니다.

 

이를테면 일반항이 \(a_{n} = 1/10^{n}\)인 수열 \(\{a_{n}\}\)을 생각합시다. 이 수열은 \(a_{1}=0.1,\ a_{2}=0.01,\ a_{3}=0.001,\ \cdots\)이런 식으로 쭉 이어집니다. 직관적으로 \(\{a_{n}\}\)은 0으로 수렴할 것 같습니다. 위의 정의에서 극한값 \(\alpha = 0\)으로 하고 \(\epsilon = 1\) 로 한다면 \(N\)은 1부터 가능합니다. 하지만 \(\epsilon = 0.02\) 로 한다면 \(N\)이 1이면 안되고, 2부터 가능할 것입니다. 즉 \(N\)이 가질 수 있는 값은 \(\epsilon\)에 따라 달라지기 마련입니다. 위의 정의에서는 such that 이하의 조건을 만족하는 \(N\)을 하나라도 잡을 수 있으면 됩니다. \(N\)을 조건을 만족하는 가장 작은 자연수라고 생각한다면, \(\epsilon\)에 대한 함수라고 생각할 수 있겠습니다. 그래서 어떤 책에서는 \(N(\epsilon)\)처럼 표기하기도 합니다.

 

수렴은 이처럼 엄---밀하게 정의했는데, 그럼 발산은요? 간단합니다. 발산은 수렴하지 않는 모든 경우입니다. 일반적으로 마주할 수 있는 상황은 양의 무한대로 발산, 음의 무한대로 발산, 진동입니다. 양의 무한대로 발산하는 경우는 \(n\)이 커짐에 따라 수열 \(a_{n}\)이 끝없이 커지는 경우이고, 음의 무한대로 발산은 반대로 \(n\)이 커짐에 따라 수열 \(a_{n}\)이 끝없이 작아지는 경우입니다. 진동은 수열 \(a_{n}\)이 커졌다 작아졌다 하여 수렴하지 않는 경우입니다. 다음과 같은 경우가 진동하는 수열입니다.

$$ \lim_{n \to \infty}(-1)^{n} $$

 

여기서 무한대라는 용어가 나오고, 앞의 극한 기호에서 보았던 \(\infty\)가 등장합니다. 흔히 무한대로 발산하는 경우에는 다음과 같이 \(\infty\)를 상수처럼 표기하기도 하지만, 무한대는 상태를 나타내는 표현입니다.

$$ \lim_{n \to \infty}a_{n} = \infty $$

$$ \lim_{n \to \infty}b_{n} = - \infty $$

\(\lim\) 밑에 써진 \(n \to \infty\)는 \(\forall G > 0\) 에 대하여 \(n> G\)인 상태, 그러니까 \(n\)이 계속 커지는 상태를 나타낼 뿐입니다. 정석에서도 \(a_{n}\)이 \(\infty\)라는 수에 가까워짐을 뜻하는 것이 아니라고 강조하고 있습니다.

 

2) 수열의 극한에 관한 기본 성질

수열 \(\{a_{n}\}\), \(\{b_{n}\}\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha\), \(\lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta\) 이면 다음이 성립합니다. 단, \(k\)는 상수입니다.

$$ \lim_{n \to \infty}ka_{n} = k \lim_{n \to \infty}a_{n} = k \alpha $$

$$ \lim_{n \to \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right) = \lim_{n \to \infty}a_{n} \pm \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha \pm \beta \quad \text{(복부호 동순)} $$

$$ \lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \lim_{n \to \infty}a_{n} \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha \beta $$

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}} = \frac{\alpha}{\beta} \quad \text{(단,} \ b_{n} \neq 0, \ \beta \neq 0 \text{)} $$

 

이에 대한 증명은 고등학교 범위에서 배우지 않지만, 위에서 언급한 엄밀한 정의를 이용하여 증명해봅시다. 수열 \(\left\{a_{n}\right\}\), \(\left\{b_{n}\right\}\)이 각각 \(\alpha\), \(\beta\)로 수렴한다고 가정합니다.

 

두 번째 성질(+인 경우)부터 확인해봅시다.

주어진 양수 \(\epsilon\)에 대하여, \(\epsilon/2 > 0\) 이고 \(\lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha\)이므로 다음을 만족하는 자연수 \(N_{1}\)이 존재합니다.

$$ n>N_{1} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \frac{\epsilon}{2} $$

그리고 \(\epsilon/2 > 0\)이고 \(\lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta\)이므로 다음을 만족하는 자연수 \(N_{2}\)이 존재합니다.

$$ n>N_{2} \Rightarrow \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \frac{\epsilon}{2} $$

이제 적당한 자연수 \(N = \max(N_{1}, N_{2})\)에 대하여 \(n > N\)이면 \(\left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon/2\)이고 \(\left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \epsilon/2\)이 성립합니다. 따라서 삼각 부등식에 의하여 다음이 성립합니다.

$$ \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{such that} \quad n>N \Rightarrow \left\vert \left( a_{n} + b_{n} \right) - \left( \alpha + \beta \right) \right\vert \leq \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert + \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$

따라서 수열의 극한의 정의에 의하여

$$ \lim_{n \to \infty}\left(a_{n} + b_{n} \right) = \alpha + \beta $$

 

이제 세 번째 성질을 증명해봅시다.

우선 삼각부등식에 의하여 다음이 성립합니다.

$$ \left\vert a_{n}b_{n} - \alpha\beta \right\vert \\ = \left\vert a_{n}b_{n} - \alpha b_{n} + \alpha b_{n} - \alpha\beta \right\vert \\ = \left\vert \left[ a_{n} - \alpha \right]b_{n} + \alpha \left[ b_{n} - \beta \right] \right\vert \\ \leq \left\vert \left[ a_{n} - \alpha \right]b_{n} \right\vert + \left\vert \alpha \left[ b_{n} - \beta \right] \right\vert \\ = \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert \left\vert b_{n} \right\vert + \left\vert \alpha \right\vert \left\vert b_{n} - \beta \right\vert $$

정리하면 다음과 같습니다.

$$ \left\vert a_{n}b_{n} - \alpha\beta \right\vert \leq \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert \left\vert b_{n} \right\vert + \left\vert \alpha \right\vert \left\vert b_{n} - \beta \right\vert \cdots (1) $$

주어진 양수 \(\epsilon\)에 대하여, \(\lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta\)이므로 다음을 만족하는 자연수 \(N_{1}\)이 존재합니다.

$$ n>N_{1} \Rightarrow \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \frac{\epsilon}{2\left\vert \alpha \right\vert} $$

또한 \(1 > 0\)이므로, 다음을 만족하는 자연수 \(N_{2}\)이 존재합니다.

$$ n > N_{2} \Rightarrow \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < 1 $$

$$ \therefore \left\vert b_{n} \right\vert = \left\vert b_{n} - \beta + \beta \right\vert \leq \left\vert b_{n} - \beta \right\vert + \left\vert \beta \right\vert < 1 + \left\vert \beta \right\vert $$

\(\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha\)이므로, 다음을 만족하는 자연수 \(N_{3}\)이 존재합니다.

$$ n > N_{3} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \frac{\epsilon}{2\left( 1 + \left\vert \beta \right\vert \right)} $$

이제 적당한 자연수 \(N = \max(N_{1}, N_{2}, N_{3})\)에 대하여 \(n > N\)이면 (1)에 의하여 다음이 성립합니다.

$$ \left\vert a_{n}b_{n} - \alpha \beta \right\vert \leq \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert \left\vert b_{n} \right\vert + \left\vert \alpha \right\vert \left\vert b_{n} - \beta \right\vert < \frac{\epsilon}{2\left( 1 + \left\vert \beta \right\vert \right)} \left( 1 + \left\vert \beta \right\vert \right) + \left\vert \alpha \right\vert \frac{\epsilon}{2 \left\vert \alpha \right\vert} = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$

따라서 수열의 극한의 정의에 의하여

$$ \lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \alpha \beta $$

 

이제 첫 번째 성질을 증명해봅시다. 증명에 앞서, 상수수열은 \(n \to \infty\)이면 자신으로 수렴함을 가정하는데, 이에 대한 증명은 극한의 정의를 사용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.

수열 \(\left\{a_{n}\right\}\), \(\left\{b_{n}\right\}\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha\), \(b_{n} = k\)라고 합시다. 위에서 증명한 세 번째 성질에 의하여, 다음이 성립합니다.

$$ \lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \lim_{n \to \infty}ka_{n} = \lim_{n \to \infty}k \lim_{n \to \infty}a_{n} = k\alpha $$

 

이제 두 번째 성질(-인 경우)도 증명할 수 있습니다(\(k = -1\)).

$$ \lim_{n \to \infty}\left(a_{n} - b_{n}\right) = \lim_{n \to \infty}a_{n} + \lim_{n \to \infty}\left(-1\right)b_{n} = \alpha + \left(-1\right)\lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha - \beta $$

 

네 번째 성질은 다음을 보인 뒤, 세 번째 성질을 활용하여 증명할 것입니다.

$$ \lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{\alpha} $$

주어진 양수 \(\epsilon\)에 대하여, \(\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha\)이므로 다음을 만족하는 자연수 \(N_{1}\)이 존재합니다.

$$ n>N_{1} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \frac{\left\vert \alpha \right\vert}{2} $$

$$ \therefore \left\vert \alpha \right\vert = \left\vert \alpha - a_{n} + a_{n} \right\vert \leq \left\vert \alpha - a_{n} \right\vert + \left\vert a_{n} \right\vert < \frac{\left\vert \alpha \right\vert}{2} + \left\vert a_{n} \right\vert $$

$$ \therefore n > N_{1} \Rightarrow \left\vert a_{n} \right\vert > \frac{\left\vert \alpha \right\vert}{2} $$

또한 \(\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha\)이므로, 다음을 만족하는 자연수 \(N_{2}\)이 존재합니다.

$$ n > N_{2} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \frac{\alpha^{2}}{2} \epsilon $$

이제 적당한 자연수 \(N = \max(N_{1}, N_{2})\)에 대하여 \(n > N\)이면 다음이 성립합니다.

$$ \left\vert \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{\alpha} \right\vert = \frac{\left\vert a_{n} - \alpha \right\vert}{\left\vert \alpha a_{n} \right\vert} < \frac{2}{\alpha^{2}} \frac{\alpha^{2}}{2} \epsilon = \epsilon $$

따라서 수열의 극한의 정의에 의하여

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{\alpha} $$

따라서 세 번째 성질에 의하여

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty}a_{n} \frac{1}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty}a_{n} \lim_{ n \to \infty}\frac{1}{b_{n}} = \alpha \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha}{\beta} $$

이렇게 수열의 극한에 관한 기본 성질을 모두 증명해보았습니다. 이와 유사한 방법으로, 온갖 수열의 극한 문제를 증명할 수 있습니다. 그러나 증명하기에 앞서 극한값을 예상해야 하고, 매번 복잡하게 증명하는 것은 불편하기에 앞서 증명한 성질들을 활용하여 극한값을 구하는 방법을 사용합니다.

 

3) 극한과 부등식

수열 \(\left\{a_{n}\right\}\), \(\left\{b_{n}\right\}\), \(\left\{c_{n}\right\}\)에 대하여 다음이 성립합니다.

 

\(a_{n} \leq b_{n}\)이고, \(\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha\), \(\lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta\) 이면 \( \alpha \leq \beta\)

\(a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}\)이고, \(\lim_{n \to \infty}a_{n} = \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha\) 이면 \(\lim_{n \to \infty}c_{n} = \alpha\) (샌드위치 정리, 조임 정리)

 

첫 번째 정리부터 증명해봅시다. 귀류법을 사용합니다.

귀류법은 결론을 부정하고 시작합니다. 그러니까 \(\beta < \alpha\)라고 가정해봅시다.

극한에 관한 기본 성질에 의하여 다음이 성립합니다.

$$ \lim_{n \to \infty}\left(b_{n} - a_{n}\right) = \beta - \alpha $$

가정에 의하여 \(\alpha - \beta > 0\)이므로, 다음을 만족하는 자연수 \(N\)이 존재합니다.

$$ n > N \Rightarrow \left\vert \left( b_{n} - a_{n} \right) - \left( \beta - \alpha \right) \right\vert < \alpha - \beta $$

$$ \therefore n > N \Rightarrow \left( b_{n} - a_{n} \right) - \left( \beta - \alpha \right) < \alpha - \beta $$

$$ \therefore n > N \Rightarrow b_{n} < a_{n} $$

이는 \(a_{n} \leq b_{n}\)에 모순이므로, \(\beta < \alpha\)는 거짓입니다. 즉 \(\alpha \leq \beta\)입니다.

 

두 번째 정리는 샌드위치 정리, 혹은 조임 정리라고 불립니다. 말 그대로 \(c_{n}\)을 부등식으로 조여서 극한값을 구하기 때문입니다. 그러나 조임 정리의 의의는 단순히 극한값이 \(\alpha\)라는 것뿐이 아닙니다. 바로 극한값이 존재한다는 사실입니다. 사실 두 번째 정리에서 \(c_{n}\)이 수렴한다고 가정하면 첫 번째 정리만으로 쉽게 증명됩니다. 하지만 과연 \(c_{n}\)이 언제나 수렴할까요? 보통 조임정리는 고등학교 미적분의 사기 정리 중 하나입니다. 사실상 주어진 수열(혹은 함수)이 수렴함을 증명할 수 있는 유일한 정리이기 때문입니다. 그렇기에 대충 넘어가지 말고 증명해봅시다.

주어진 양수 \(\epsilon\)에 대하여, \(\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha\)이므로 다음을 만족하는 자연수 \(N_{1}\)이 존재합니다.

$$ n > N_{1} \Rightarrow \left\vert a_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon $$

이는 다시 말해

$$ n > N_{1} \Rightarrow \alpha - \epsilon < a_{n} < \alpha + \epsilon $$

마찬가지로 \(\lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha\)이므로, 다음을 만족하는 자연수 \(N_{2}\)이 존재합니다.

$$ n > N_{2} \Rightarrow \alpha - \epsilon < b_{n} < \alpha + \epsilon $$

이제 적당한 자연수 \(N = \max(N_{1}, N_{2})\)에 대하여 \(n > N\)이면 다음이 성립합니다.

$$ \alpha - \epsilon < a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} < \alpha + \epsilon $$

다시 말해 다음이 성립합니다.

$$ \alpha - \epsilon < c_{n} < \alpha + \epsilon $$

$$ \therefore \left\vert c_{n} - \alpha \right\vert < \epsilon $$

따라서 수열의 극한의 정의에 의하여

$$ \lim_{n \to \infty}c_{n} = \alpha $$

 

이렇게 기본적인 성질을 다 증명해보았습니다.